题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）。
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴y，轴分别交于点C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S₁与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设正比例函数的解析式为y=k₁x（k₁≠0），
因为y=k₁x的图象过点A（3，3），
所以3=3k₁，
解得k₁=1，
故这个正比例函数的解析式为y=x，
设反比例函数的解析式为（k₂≠0），
因为的图象过点A（3，3），
所以，
解得k₂=9，
故这个反比例函数的解析式为； （2）因为点B（6，m）在的图象上，
所以，
则点，
设一次函数解析式为y=k₃x+b（k₃≠0），
因为y=k₃x+b的图象是y=x向下平移得到的，
所以k₃=1，
即y=x+b，
又因为y=x+b的图象过点，
所以
解得，
所以一次函数的解析式为； （3）因为的图象交y轴于点D，所以D的坐标为，
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
因为y=ax²+bx+c的图象过点A（3，3）、、，
所以　　　
解得
这个二次函数的解析式为； （4）∵交x轴于点C，
∴点C的坐标是，
如图所示，
 


假设存在点E（x₀，y₀），使，
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，
∴y₀>0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE，


∴　　
∴
∵E（x₀，y₀）在二次函数的图象上，
∴
解得x₀=2或x₀=6，
当x₀=6时，点与点B重合，这时CDOE不是四边形，
故x₀=6舍去，
∴点E的坐标为。