题目

题型：海南省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A。
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N。
①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积。

答案

解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；
令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线上，于是得
，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为；
（2）①∵点P（x，y）在抛物线上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为，
同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM
=（）-（-x+3）
=
=
∴当x=时，
线段PN的长度的最大值为；
②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线上，于是有，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为：或，
若点P的坐标为，
此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，
，OB=OC=3，

=
=
=
=，
若点P的坐标为，此时点P在第三象限，
则
=
=
=
=。