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题目
题型:海南省中考真题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C;抛物线经过B、C两点,并与x轴交于另一点A。
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)设P(x,y)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点P作直线l⊥x轴于点M,交直线BC于点N。
①若点P在第一象限内,试问:线段PN的长度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由;
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积。
答案
解:(1)由于直线y=-x+3经过B、C两点,
令y=0得x=3;
令x=0,得y=3,
∴B(3,0),C(0,3),
∵点B、C在抛物线上,于是得

解得b=2,c=3,
∴所求函数关系式为
(2)①∵点P(x,y)在抛物线上,
且PN⊥x轴,
∴设点P的坐标为
同理可设点N的坐标为(x,-x+3),
又点P在第一象限,
∴PN=PM-NM
=()-(-x+3)
=
=
∴当x=时,
线段PN的长度的最大值为
②由题意知,点P在线段BC的垂直平分线上,
又由①知,OB=OC,
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线,
∴设点P的坐标为(a,a),
又点P在抛物线上,于是有

解得:
∴点P的坐标为:
若点P的坐标为
此时点P在第一象限,在Rt△OMP和Rt△BOC中,
,OB=OC=3,

=
=
=
=
若点P的坐标为,此时点P在第三象限,

=
=
=
=
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C;抛物线经过B、C两点,并与x轴交于另一点A。(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)设】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D。
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;
(3)在问题(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由。
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某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,列出的部分数据如下表:
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x
0
1
2
3
4
y
3
0
-2
0
3
如图1,已知点B(1,3)、C(1,0),直线y=x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD。
(1)填空:A点坐标为(____,____),D点坐标为(____,____);
(2)若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点,求抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由。(提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,顶点坐标是(-

如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP。


(1)点B的坐标为____;用含t的式子表示点P的坐标为____;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6)并求t为何值时,S有最大值?
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。
如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E。

(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由。