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题目
题型:贵州省月考题难度:来源:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D。
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;
(3)在问题(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1)

将C(0,3)代入上式,得



(2)分两种情况:
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令y=0,得
解得:
∵点A在点B的右边,
∴B(1,0),A(3,0)
 ∴P1(1,0)
②当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠OAD2=45°
当∠D2AP2=90°时,∠OAP2=45°,
∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥y轴,
∴P2D2⊥AO,
∴P2、D2关于x轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得


∵D2上,P2上,
∴设D2(x,-x+3),P2(x,
∴()+()=0 ,
(舍)
∴当x=2时,==-1
∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,-1)。(3)由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x轴于点E,交抛物线于点F
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,-1),
∴可令F(x,1)

解之得:
∴F点有两点,即F1,1),F2,1)。
核心考点
试题【如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,列出的部分数据如下表:
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x
0
1
2
3
4
y
3
0
-2
0
3
如图1,已知点B(1,3)、C(1,0),直线y=x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD。
(1)填空:A点坐标为(____,____),D点坐标为(____,____);
(2)若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点,求抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由。(提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,顶点坐标是(-

如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP。


(1)点B的坐标为____;用含t的式子表示点P的坐标为____;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6)并求t为何值时,S有最大值?
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。
如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E。

(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由。
如图,东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园,矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆。设矩形的宽为x,面积为y。

(1)求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)生物园的面积能否达到210平方米?说明理由。