题目

题型：贵州省月考题难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D。
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1）
设
将C（0，3）代入上式，得


∴
即。（2）分两种情况：
①当点P₁为直角顶点时，点P₁与点B重合（如图）
令y=0，得
解得：，
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）
 ∴P₁（1，0）
②当点A为△APD₂的直角顶点是（如图）
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD₂=45°
当∠D₂AP₂=90°时，∠OAP₂=45°，
∴AO平分∠D₂AP₂
又∵P₂D₂∥y轴，
∴P₂D₂⊥AO，
∴P₂、D₂关于x轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A（3，0）， C（0，3）代入上式得，
∴
∴
∵D₂在上，P₂在上，
∴设D₂（x，-x+3），P₂（x，）
∴（）+（）=0 ，
∴，（舍）
∴当x=2时，==-1
∴P₂的坐标为P₂（2，-1）（即为抛物线顶点）
∴P点坐标为P₁（1，0），P₂（2，-1）。（3）由题（2）知，当点P的坐标为P₁（1，0）时，不能构成平行四边形
当点P的坐标为P₂（2，-1）（即顶点Q）时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F
当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形
∵P（2，-1），
∴可令F（x，1）
∴
解之得：，
∴F点有两点，即F₁（，1），F₂（，1）。