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题目
题型:四川省中考真题难度:来源:
如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D,E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?并求出最大面积。
答案
解:(1)由题意,得,解得,b =-1,
所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,);
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,
因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,
连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH+CH最小,
即最小为DH+CH=DH+HB=BD=

∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=
设直线BD的解析式为y=k1x+b,则,解得
所以直线BD的解析式为
由于BC=2,CE==,Rt△CEG∽△COB,
得CE∶CO=CG∶CB,所以CG=2.5,GO=1.5,G(0,1.5),
同理可求得直线EF的解析式为
联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H
(3)设K(t,),xF<t<xE
过K作x轴的垂线交EF于N,
则KN=yK-yN=-
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN(t+3)+KN(1-t)=2KN=-t2-3t +5=-(t+2+
即当t =-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-)。
核心考点
试题【如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D,E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知直线l的解析式为y=-x+6,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点,平行于直线l的直线n从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒,运动过程中始终保持n∥l,直线n与x轴、y轴分别相交于C、D两点,线段CD的中点为P,以P为圆心,以CD为直径在CD上方作半圆,半圆面积为S,当直线n与直线l重合时,运动结束。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)直线n在运动过程中,
①当t为何值时,半圆与直线l相切?
②是否存在这样的t值,使得半圆面积S=S梯形ABCD?若存在,求出t值,若不存在,说明理由。
题型:云南省中考真题难度:| 查看答案
如图所示,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3)。
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值。

题型:上海中考真题难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(-3,0),若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x=-2。
(1)求直线AC及抛物线的函数表达式;
(2)如果P是线段AC上一点,设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC,且S△ABP:S△BPC=2:3,求点P的坐标;
(3)设⊙Q的半径为1,圆心Q在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由,并探究:若设⊙Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动,则当r取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
抛物线图象如图所示,根据图象,抛物线的解析式可能是

[     ]

A.
B.
C.
D.
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如图(1)所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2。
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?


图1                                                           图2

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