题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D，E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积。

答案

解：（1）由题意，得，解得，b =-1，
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（-1，）；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，
因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，
连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，
即最小为DH+CH=DH+HB=BD=，
而，
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=，
设直线BD的解析式为y=k₁x+b，则，解得，
所以直线BD的解析式为，
由于BC=2，CE==，Rt△CEG∽△COB，
得CE∶CO=CG∶CB，所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5），
同理可求得直线EF的解析式为，
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H；
（3）设K（t，），x_F＜t＜x_E，
过K作x轴的垂线交EF于N，
则KN=y_K-y_N=-，
所以S_△EFK=S_△KFN+S_△KNE=KN（t+3）+KN（1-t）=2KN=-t²-3t +5=-（t+）²+，
即当t =-时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（-，）。