题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；
（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积。

答案

解：（1）由OC=OB=3，知C（0，-3），连接AC，
在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO=3×=1，故A（-1，0），
设所求二次函数的表达式为，
将C（0，-3）代入得-3=a（0+1）（x-3），解得a=1，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R>0），设M在N的左侧，
∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，
∴N（R+1，R）代入中得
，解得；
②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为，由①可知N（r+1，-r），
代入抛物线方程可得；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
把G（2，y）代入抛物线的解析式得G（2，-3），
由A（-1，0）可得直线AG的方程为y=-x-1，
设P（x，），则，
，
当时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为，△APG的面积最大值为。