题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁。
（1）求tanα的值；
（2）求点A₁的坐标，并直接写出点B₁、点C₁的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）四边形为正方形，
∴，
又∵D是的中点，
∴
∵由旋转性质可知，
∴在中，，
∴的值是；
（2）过点A₁作轴，垂足为点E，
在中，，
∴
设，则，在中，，
根据勾股定理，得
即，解得（舍），，
∴
又∵点A₁在第二象限，
∴点A₁的坐标为，
直接写出点B₂的坐标为，点C₁的坐标为；
（3）抛物线过点，
∴ 解得
∴抛物线的函数表达式为，
将其配方，得，
∴抛物线的对称轴是直线；
（4）存在点P，使为直角三角形，
满足条件的点P共有4个：，。