题目

题型：北京中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点。
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数。

答案

解：（1）∵沿轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C
∴
设直线BC的解析式为
∵在直线BC上
∴
解得
直线BC的解析式为
∵抛物线过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为。（2）由
可得
∴
可得是等腰直角三角形
∴
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F
∴
过点A作于点E
∴
可得
在与中，

∴
∴
解得
∵点P在抛物线的对称轴上
∴点P的坐标为或。（3）如图：作点关于y轴的对称点，则

连接
可得
由勾股定理可得，
又
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
即与两角和的度数为。