题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2），∠BCO= 60°，OH⊥BC于点H。动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t秒。

（1）求OH的长； 
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？ 
（3）设PQ与OB交于点M．①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值，②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论。

答案

解：（1）∵
∴
在中，，
∴，
∴而
∴为等边三角形
∴；
（2）∵
∴，
∴ ，

即
∴当时，；
（3）①若为等腰三角形，则：
（i）若，
∴
∴ 即
解得：
此时；
（ii）若，
∴
过点P作，垂足为E，则有：
即
解得：
此时；
（iii）若，
∴，
此时Q在AB上，不满足题意；
②线段OM长的最大值为。