题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A，B两点，A（-1，0）。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-3，
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）²-3，
解得a=，
所以，抛物线的解析式为y=（x-1）²-3，即；
（2）是定值，，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
∴，
同理：，
①+②：
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴EA=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
如图，过点P作PH⊥BE与H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME，
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP=∠PBH=90°，∠EAB=∠BPH=45°，
∴PH=BH，且△APM∽△PBH，
∴，
∴，
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG=90°，
∵∠MEP+∠SEG=90°，
∴∠FGE=∠MEP，
∵∠PME=∠FEG=90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴，
由①、②知：。