题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合），过点F作BC的平行线与AB交于G与AC交于H，连接GE并延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI。
（1）求证：四边形GHIJ是矩形；
（2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S_矩形GHIJ=y。
①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②点E在何处时，矩形GHIJ的面积与△AGH的面积相等？

答案

解：（1）∵F，E关于点D对称，
∴FE=ED
又∵GH∥BC，
∴∠FGE=∠EID，
∵∠GEF=∠DEI，
∴△GEF≌△IED，
∴GE=EI，
同理可证EH=JE，
∴四边形GHIJ是平行四边形，
∵AB=AC，GH∥BC，AD⊥BC，
∴AF垂直平分GH，
∴EF∥HI（三角形中位线定理），
∴HI⊥GH，四边形GHIJ是矩形；
（2）①由（1）得，DF=2ED=2x，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴
∴即
∴
∵AF=6-2x＞0，
∴x＜3，
∴0＜x＜3，
②要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，
即6-2x=4x，
∴x=1，
∴当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等。