题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

如图，在⊙M中，所对的圆心角为120°，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系。
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ABCD的最大面积；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，连接MA、MB，
则∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）。
（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，
知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c
∵OC=MC-MO=1，
∴C（0，-1），B（，0）
∴
∴。
（3）∵
又与AB均为定值
∴当△ABD边AB上的高最大时，S_△ABD最大，
此时点D为⊙M与y轴的交点，如图
∴。（4）如图，∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，
设且x＞0，则

又∵的坐标满足
∴在抛物线上，存在点
使
由抛物线的对称性，知点也符合题意
∴存在点P，它的坐标为或。