题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图1，点A为抛物线C₁：y=x²﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C₁于另一点C
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C₁向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

答案

解：（1）当x=0时，y=﹣2；∵A（0，﹣2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得
∴直线AB解析式为y=2x﹣2．
∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x²﹣2的交点，
则点C的横、纵坐标满足：，
解得、（舍）∴点C的坐标为（4，6）．
（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C₁于D．E两点．
∵y_D=4，y_E=，∴DE=．
∴FG=DE=4：3，
∴FG=2．
∴直线x=a分别交直线AB和抛物线C₁于F、G两点．
∴y_F=2a﹣2，y_G=a²﹣2×FG=|2a﹣a²|=2，
解得：a₁=2，a₂=﹣2+2，a₃=2﹣2．
（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；
设点M的坐标为（t，0），
抛物线C₂的解析式为y=x²﹣2﹣m；
∴0=﹣t²﹣2﹣m，
∴﹣2﹣m=﹣t²．
∴y=x²﹣t²，
∴点P坐标为（0，﹣t²）．
∵点N是直线AB与抛物线y=x²﹣t²的交点，
则点N的横、纵坐标满足：，
解得、（舍）
∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN×OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t²．
∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，
∴﹣t+t²=（2﹣t），
∴t₁=﹣2，t₂=2（舍）
﹣2﹣m=﹣t²=﹣（﹣2）²，
∴m=2．