题目

题型：期末题难度：来源：

如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA"B"，C点的坐标为（0，4）．
（1）求A"点的坐标；
（2）求过C，A"，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）过点A"作A"D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB"A"D为矩形．
在△A"DO中，A"D=OA"sin∠A"OD=4×sin60°
=2OD=A"B"=AB=2
∴点A"的坐标为（2，2）；
（2）∵C（0，4）在抛物线上，
∴c=4
∴y=ax²+bx+4．
∵A（4，0），A"（2，2），
在抛物线y=ax²+bx+4上
∴
解之得
∴所求解析式为y=+（2﹣3）x+4；
（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点C（0，4）为满足条件的点．
②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，﹣4），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上．
③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，﹣2），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．