题目

题型：浙江省竞赛题难度：来源：

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．
（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵点B（5，m）在直线y=﹣2x+7上，
∴m=﹣5×2+7=﹣3，
∴B（5，﹣3）；
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为（4，0），
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），
将点B（5，﹣3）代入上式，得﹣3=a（5﹣0）（5﹣4），
解得：a=﹣，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为：y=﹣x（x﹣4），
即y=﹣x²+x；
（2）∵点A（4，0），B（5，﹣3），C（2，0），
∴AC=4﹣2=2，BC==3，
当点D在直线x=2的右侧时，
∵△DCB∽△ECB，
∴=，即=，
解得：CD=9，
∴点D的坐标为：（11，0）；
当点D在直线x=2的左侧时，
∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，且∠ACB<∠DCB，
∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，
即此时不存在点使三角形相似．
综上所述，存在点D的坐标是（11，0）使三角形相似；
（3）存在符合条件的点P使，PB=PC．
∵C（2，0），B（5，﹣3），
∴∠ACB=45°，
BC垂直平分线的解析式为：y=x﹣5，
∴，
解得：，，
∴符合条件的点P的坐标为：
（，）或（，）．