题目

题型：宁夏自治区竞赛题难度：来源：

如图，抛物线y=x²﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

解：（1）令y=0，
解得x₁=﹣1或x₂=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
将C点的横坐标x=2，
代入y=x²﹣2x﹣3，
得：y=﹣3，
∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是：
y=﹣x﹣1；
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：
P（x，﹣x﹣1），
E（x，x²﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，
PE=（﹣x﹣1）﹣（x²﹣2x﹣3）
=﹣x²+x+2
=﹣（x﹣）²+，
∴当时，PE的最大值=；
（3）存在4个这样的点F，分别是：
F₁（1，0），
F₂（﹣3，0），
F₃（4+，0），
F₄（4﹣，0）．
①如图1，
连接C与抛物线和y轴的交点，
那么CG∥x轴，
此时AF=CG=2，
因此F点的坐标是（﹣3，0）；
②如图2，
AF=CG=2，
A点的坐标为（﹣1，0），
因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，
此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，
因此G点的纵坐标为3，
代入抛物线中，
即可得出G点的坐标为（1±，3），
由于直线GF的斜率与直线AC的相同，
因此可设直线GF的解析式为：
y=﹣x+h，
将G点代入后，
可得出直线的解析式为：
y=﹣x+7．
因此直线GF与x轴的交点F的坐标为：
（4+，0）；
④如图4，
同③可求出F的坐标为：
（4﹣，0）；
综合四种情况可得出，
存在4个符合条件的F点．

图1



图2



图3



图4