题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知：抛物线y=x²+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．

答案

解：（1）证明：令y=0，则x²+（a﹣2）x﹣2a=0
△=（a﹣2）²+8a=（a+2）²；
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x²+（a﹣2）x﹣2a=0有两个不相等的实数根；
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）令y=0，则x²+（a﹣2）x﹣2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=﹣a
∵A在B左侧，且a＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（﹣a，0），B（2，0）．
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，﹣2a）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，AO²+CO²=（2）²，即a²+（2a）²=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴抛物线的解析式为y=x²﹣4．