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题目
题型:不详难度:来源:
已知二次函数y=mx2+4(m-3)x-16
(1)证明:该二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当m为何值时,二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小?求出这个最小值,并求此时二次函数图象的开口方向与顶点坐标.
答案
(1)令y=0,得mx2+4(m-3)x-16=0①,
∵△=16(m-3)2+64m=16(m2-2m+9)=16(m-1)2+128,
故不论m为任何不为0的实数,都有△>0,
∴方程①有两个不等的实根,
∴二次函数图象与x轴有两个交点;

(2)设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2
∵y=mx2+4(m-3)x-16是二次函数,∴m≠0,
∴二次函数与x轴两交点的距离|x1-x2|=


|m|
=


16(m-3)2+64m
|m|

=


16(m2-2m+9)
m2
=4


1-
2
m
+
9
m2
=4


(
3
m
-
1
3
2
+
8
9

当且仅当
3
m
-
1
3
=0,即m=9时,|x1-x2|有最小值,最小值为
8


2
3

把m=9代入原式,得此时二次函数为y=9x2+24x-16,
∵9>0,∴当x=-
b
2a
=-
24
18
=-
4
3
时,ymin=
4ac-b2
4a
=
36×16-242
36
=-32,
∴此时二次函数图象的开口向上,顶点坐标为(-
4
3
,-32).
核心考点
试题【已知二次函数y=mx2+4(m-3)x-16(1)证明:该二次函数的图象与x轴有两个交点;(2)当m为何值时,二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小?求出】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知二次函数y=x2+(m+3)x+m+2,当-1<x<3时,恒有y<0;关于x的方程x2+(m+3)x+m+2=0的两个实数根的倒数和小于-
9
10
.求m的取值范围.
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