已知二次函数y=x2-4ax+4a2+a-1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=t1，a=t2，a=t3，a=t4时二次 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知二次函数y=x²-4ax+4a²+a-1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=t₁，a=t₂，a=t₃，a=t₄时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是______．

答案

y=x²-4ax+4a²+a-1
=（x-2a）²+a-1，
∴抛物线顶点坐标为：（2a，a-1），
设x=2a①，y=a-1②，
①-②×2，消去a得，x-2y=2，
即y=

x-1．
故答案为：y=

x-1．

核心考点

试题【已知二次函数y=x2-4ax+4a2+a-1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=t1，a=t2，a=t3，a=t4时二次】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠O）经过X轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，-

），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=

a，AB=2

，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，

并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过E点的⊙P的切线的解析式．

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已知抛物线y=ax²-x+c经过点Q（-2，

），且它的顶点P的横坐标为-1．设抛物线与x轴相交于A、

B两点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．

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如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3

），将△OAC绕AC的中点G旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2

x经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；
（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．

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我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=-

100

(x-60)2+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-

100

(100-x)2+

294

(100-x)+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

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如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向通道，上下底之间有两条纵向通道，各通道的宽度相等．设通道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向通道的面积；
（2）当三条通道的面积是梯形面积的八分之一时，求通道的宽；
（3）根据设计的要求，通道的宽不能超过8米．如果修建通道的总费用（万元）与通道的宽度成正比例关系，比例系数是5.5，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

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