题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当点P的坐标为(-4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;
(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.
①连接AN,当△AMN的面积最大时,求t的值;
②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.
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答案
∵抛物线经过点C(0,3),
∴3=a×3×1,解得a=1.
∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x+1)=x2+4x+3.
(2)证明:在抛物线解析式y=x2+4x+3中,当x=-4时,y=3,∴P(-4,3).
∵P(-4,3),C(0,3),
∴PC=4,PC∥x轴.
∵一次函数y=kx-4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,
∴Q(4,0),OQ=4.
∴PC=OQ,又∵PC∥x轴,
∴四边形POQC是平行四边形,
∴∠OPC=∠AQC.
(3)①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5.
如答图1所示,过点N作ND⊥x轴于点D,则ND∥OC,
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∴△QND∽△QCO,
∴
ND |
OC |
NQ |
CQ |
ND |
3 |
5-t |
5 |
3 |
5 |
设S=S△AMN,则:
S=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
5 |
9 |
10 |
5 |
2 |
45 |
8 |
又∵AQ=7,∴点M到达终点的时间为t=
7 |
3 |
∴S=-
9 |
10 |
5 |
2 |
45 |
8 |
7 |
3 |
∵-
9 |
10 |
7 |
3 |
5 |
2 |
5 |
2 |
∴当t=
7 |
3 |
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC.
由QM=QN,得:7-3t=5-t,解得t=1.
设P(x,x2+4x+3),
若直线PQ⊥MN,则:过P作直线PE⊥x轴,垂足为E,
则△PEQ∽△MDN,
∴
PE |
EQ |
MD |
DN |
∴
x2+4x+3 |
4-x |
| ||
|
∴x=
-13±
| ||
6 |
∴P(
-13+
| ||
6 |
37-
| ||
18 |
-13-
| ||
6 |
37+
| ||
18 |
∴直线PQ能垂直平分线段MN.
核心考点
试题【如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(-1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx-4k(k≠0)的图象过点P】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求正中间的立柱OC的高度;
(2)是否存在一根立柱,其高度恰好是OC的一半?请说明理由.
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5 |
4 |
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点F(1,
3 |
4 |
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立?若存在请求出t
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(1)求A,B两点的坐标;
(2)求二次函数的函数表达式;
(3)在(2)的抛物线上,是否存在点P,使得∠BAP=45°?若存在,求出点P的坐标及此时△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
(1)求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当该二次函数的图象经过点(3,6)时,求二次函数的解析式;
(3)将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),一个动点P自A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
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