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题目
题型:不详难度:来源:
已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C,过A、C两点的抛物线y=ax2-2ax+c交x轴于另一点B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动,同时动直线l从x轴出发,以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动,直线l交AC与D,交BC于E,当点Q运动到点A时,两者都停止运动.设运动时间为t秒,△QED的面积为S.
①求S与t的函数关系式:并探究:当t为何值时,S有最大值为多少?
②在点Q及直线l的运动过程中,是否存在△QED为直角三角形?若存在,请求t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)令y=0,则-x+4=0,
解得x=4,
令x=0,则y=4,
∴点A(4,0),C(0,4),
∵抛物线y=ax2-2ax+c经过点A、C,





16a-8a+c=0
c=4

解得





a=-
1
2
c=4

∴抛物线y=-
1
2
x2+x+4;

(2)①令y=0,则-
1
2
x2+x+4=0,
整理得,x2-2x-8=0,
解得x1=-2,x2=4,
∴点B(-2,0),
∴AB=4-(-2)=6,
∵直线lx轴,
∴△ABC△DEC,
DE
AB
=
4-t
4

DE
6
=
4-t
4

解得DE=
3
2
(4-t),
∴△QED的面积为S=
1
2
×
3
2
(4-t)×t=-
3
4
t2+3t,
S与t的函数关系式为S=-
3
4
t2+3t,
∵S=-
3
4
(t-2)2+3,
∴t=2时,S有最大值,最大值为3;

②(i)∠QED=90°时,∵DEx轴,
∴EQ⊥AB,
∴△BQE△BOC,
EQ
OC
=
BQ
OB

t
4
=
2t
2

所以,此种情况不成立;
(ii)∠EDQ=90°时,∵DEx轴,
∴DQ⊥AB,
∴△ADQ△ACO,
AQ
OA
=
DQ
CO

6-2t
4
=
t
4

解得t=3;
(iii)∠DQE=90°时,过点D作DF⊥AB于F,过点E作EG⊥AB于G,
则△BGE△BOC,
BG
OB
=
EG
OC

∴BG=
OB•EG
OC
=
2•t
4
=
1
2
t,
GQ=2t-
1
2
t=
3t
2

同理可求AF=t,DF=t,
QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t,
易求△EGQ△QDF,
EG
QF
=
GQ
DF

t
6-3t
=
3t
2
t

解得t=
18
11

综上所述,t=
18
11
或3秒时,△QED为直角三角形.
核心考点
试题【已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C,过A、C两点的抛物线y=ax2-2ax+c交x轴于另一点B.(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点Q从点B出发,】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知△OAB的顶点A(-6,0),B(0,2),O是坐标原点,将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.
(1)写出C,D两点的坐标;
(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式,并求此抛物线顶点E的坐标;
(3)证明AB⊥BE.
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如图,在正方形ABCD中,E是边BC上的一点.
(1)若线段BE的长度比正方形ABCD的边长少2cm,且△ABE的面积为4cm2,试求这个正方形ABCD的面积;
(2)若正方形ABCD的面积为8cm2,E是边BC上的一个动点,设线段BE的长为xcm,△ABE的面积为ycm2,试求y与x之间的函数关系式和函数的定义域;
(3)当x取何值时,第(2)小题中所求函数的函数值为2?
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对于三个数a,b,c,用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.例如:max{1,2,3}=3.则:
(1)max{sin30°,(


2
-1)0
,tan30°}=______;
(2)如果max{5,3x+2,3-2x}=5,则x的取值范围是______;
(3)max{x2+2,-x+4,x}的最小值为______.
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已知直线y=-


3
x+


3
与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是x轴上一点,如果∠ABC=∠ACB,
求:(1)点C的坐标;
(2)图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式.
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如图①,已知正方形AOBC的边长为3,A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上,以D(0,1)为旋转中心,将DB逆时针旋转90°,得到线段DE,抛物线以点E为顶点,且经过点A.

(1)求抛物线解析式并判断点B是否在抛物线上;
(2)如图②,判断直线AE与正方形AOBC的外接圆的位置关系,并说明理由;
(3)若在抛物线上有点P,在抛物线的对称轴上有点Q,使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点P的坐标.
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