题目

题型：不详难度：来源：

已知：抛物线C₁：y=-2x²+bx-6与抛物线C₂关于原点对称，抛物线C₁与x轴分别交于A（1，0），B（m，0），顶点为M，抛物线C₂与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N．
（1）求m的值；
（2）求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₁与抛物线C₂同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为A′，B′，C′，D′，M′，N′，当点A′与点D′重合时运动停止．在运动过程中，四边形B′M′C′N′能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t（秒）的值，若不能，说明理由．

答案

（1）∵抛物线 y=-2x²+bx-6过点 A（1，0）
∴0=-2+b-6，
∴b=8，
∴抛物线 C₁的解析式为 y=-2x²+8x-6=-2（x-2）²+2，
∴M（2，2），
令y=0，则-2x²+8x-6=0，
解这个方程，得 x₁=1，x₂=3，
∴m=3；

（2）由题意，抛物线 过点C（-3，0），D（-1，0），顶点坐标为：N（-2，-2），
故设解析式为：y=a（x+2）²-2，将C（-3，0），带入得出：a=2，
∴抛物线C₂ 的解析式为：y=2（x+2）²-2=2x²+8x+6；

（3）过点M 作 MH⊥x轴于点H，
若四边形是矩形B′M′C′N′，则 OB′=OM′，
由题意，设M′（2-t，2）B′（3-t，0），则H （2-t，0），
在Rt△M′OH中，OH²+M′H²=OM′²=OB′²
∴（t-2）²+2²=（t-3）²，
解得t=

1

2

，
∴t=

1

2

秒时，四边形B′M′C′N′是 矩形．