题目

题型：不详难度：来源：

已知A，A是抛物线y=

1

2

x²上两点，A₁B₁，A₃B₃分别垂直于x轴，垂足分别为B₁，B₃，点C是线段A₁A₃的中点，过点C作CB₂垂直于x轴，垂足为B₂，CB₂交抛物线于点A₂．

（1）如图1，已知A₁，A₃两点的横坐标依次为1，3，求线段CA₂的长；
（2）如图2，若将抛物线y=

1

2

x²改为抛物线y=

1

2

x²-x+1，且A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=

1

2

x²改为抛物线y=ax²+bx+c（a＞0），A₁，A₂，A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA₂的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．

答案

（1）∵A₁，A₃的横坐标依次为1，3，
∴A₁B₁=

1

2

×1²=

1

2

，A₃B₃=

1

2

×3²=

9

2

，
由已知可得A₁B₁∥CB₂∥A₃B₃．
又∵C为A₁A₃的中点，
∴B₂为B₁B₃的中点，
∴B₂点的横坐标为2，
∴A₂B₂=

1

2

×2²=2，
而CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）
=

1

2

（

1

2

+

9

2

）+

5

2

∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2
=

1

2

．

（2）设A₁，A₂，A₃三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
则A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，A₂B₂=

1

2

n²-n+1，
A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1，
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃∥AB₂，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）
=

1

2

[

1

2

（n-1）²-（n-1）+1+

1

2

（n+1）²-（n+1）+1]
=

1

2

n²-n+

3

2

，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-（

1

2

n²-n+1）=

1

2

．

（3）当a＞0时，CA₂=a．