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题目
题型:不详难度:来源:
已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4).平行于x轴的直线l过(0,-1)点.
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t个单位(t>0),二次函数的图象与x轴交于M,N两点,一次函数图象交y轴于F点.当t为何值时,过F,M,N三点的圆的面积最小,最小面积是多少?
答案
(1)把A(-4,4)代入y=kx+1
得k=-
3
4

∴一次函数的解析式为y=-
3
4
x+1;
∵二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y轴,
∴设二次函数解析式为y=ax2
把A(-4,4)代入y=ax2
得a=
1
4

∴二次函数解析式为y=
1
4
x2

(2)由





y=-
3
4
x+1
y=
1
4
x2

解得





x=-4
y=4





x=1
y=
1
4

B(1,
1
4
)

过A,B点分别作直线l的垂线,垂足为A",B",
则AA′=4+1=5,BB′=
1
4
+1=
5
4

∴直角梯形AA"B"B的中位线长为
5+
5
4
2
=
25
8

过B作BH垂直于直线AA"于点H,
则BH=A"B"=5,AH=4-
1
4
=
15
4

AB=


52+(
15
4
)
2
=
25
4

∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍,
∴以AB为直径的圆与直线l相切.

(3)平移后二次函数解析式为y=
1
4
(x-2)2-t,
令y=0,得
1
4
(x-2)2-t=0,x1=2-2


t
,x2=2+2


t

∵过F,M,N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上,点C为定点,B要使圆面积最小,圆半径应等于点F到直线x=2的距离,
此时,半径为2,面积为4π,
设圆心为C,MN中点为E,连CE,CM,则CE=1,
在△CEM中,ME=


22-1
=


3

∴MN=2


3
,而MN=|x2-x1|=4


t

∴t=
3
4

∴当t=
3
4
时,过F,M,N三点的圆面积最小,最小面积为4π.
核心考点
试题【已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4).平行于x轴的直】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线,抛物线所在平面与墙面垂直(如图),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面
40
3
米,求水流下落点B离墙距离OB.
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如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作APCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
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如图,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点c(0,3).
(1)求此抛物线所对应函数的表达式;
(2)若抛物线的顶点为D,在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PCD为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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用长6米的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,则这个窗户的最大透光面积为______米2
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平移二次函数y=2x2的图象,使它经过(-1,0),(2,-6)两点.
(1)求这时图象对应的函数关系式.
(2)求出抛物线的顶点坐标和对称轴.
(3)画出该函数的图象.(温馨提示:把坐标系画全,可要记住列表哟)
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