题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，抛物线与坐标轴分别交于A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切于点E，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

答案

（1）设y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）代入得：

c=3 3a+ 3 b+c=0 27a+3 3 b+c=0

，
解得：

a= 1 3 b=- 4 3 3 c=3

，
故二次函数解析式为：y=

1

3

x2-

4

3

3

x+3；

（2）抛物线的对称轴与⊙C相切；
理由：如图1，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
在Rt△OAB中，
∵OB=

3

，OA=3，OC=3

3

∴AB=2

3

，BC=2

3

，
∴AB=BC，
又∵∠ABD=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△OAB和△EBC中，

∠AOB=∠BEC ∠OAB=∠EBC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE=OB=

3

；
∵抛物线的对称轴为：x=2

3

，
∴点C到对称轴的距离为：

3

，
∴抛物线的对称轴与⊙C相切；

（3）设AC为y=kx+b′
将A（0，3），C（3

3

，0）代入得：

b′=3 3 3 k+b′=0

，
解得：

k=- 3 3 b′=3

，
∴AC所在直线解析式为：y=-

3

3

x+3，
如图2，过点P作x轴的垂线，交AC于点P′，连接AP，PC，
则PP′=-

3

3

x+3-

1

3

x²+

4

3

3

x-3
=-

1

3

x²+

3

x
=-

1

3

（x-

3 3

2

）²+

9

4

，
∴当x=

3 3

2

时，△PAC的面积最大，最大值为：

1

2

×PP′×CO=

27 3

8

，
当x=

3 3

2

时，y=

1

3

x²-

4

3

3

x+3=-

3

4

，
此时，点P坐标为（

3 3

2

，-

3

4

）．