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题目
题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(-2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;
(3)当0<x≤
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时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵抛物线的对称轴x=1,B(-2,0)
∴A(4,0),OA=4
∴OC=2OA=8,即C点坐标为(0,-8)
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)
由于抛物线过C点,
则有a(0+2)(0-4)=-8,
即a=1
因此抛物线的解析式为y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8;

(2)当y=-5时,x2-2x-8=-5,
解得x=3,x=-1
∴M、N的坐标分别为(3,-5),(-1,-5)
∴MN=4
∴S=4|y+5|;

(3)由于0<x≤
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,此时y<0,且P与M、N不重合,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x<3时,
S=4(-5-y)=4(-5-x2+2x+8)=4(-x2+2x-1+4)=-4(x-1)2+16,
Smax=16;
②当3<x≤
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时,
S=4(5+y)=4(x2-2x-3)=4(x-1)2-16,
由于抛物线开口向上,且对称轴为x=-1,
因此当x=
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时,Smax=
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因此存在平行四边形的最大值,且最大值为16.
核心考点
试题【如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(-2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.(1)求】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知A1,A2,A3,…,A2009是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A2008A2009=1,分别过点A1,A2,A3,…,A2009作x轴的垂线交二次函数y=x2(x≥0)的图象于点P1,P2,P3,…,P2009,若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3,…,依次进行下去,最后记△P2008B2008P2009的面积为S2009,则S2009-S2008=______.
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已知抛物线y=-x2+mx+n经过点A(1,0),B(6,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线与y轴交于点D,求△ABD的面积;
(3)当y<0,直接写出自变量x的取值范围.
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两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED,按如图一所示的位置放置,点O与E重合.
(1)Rt△AOB固定不动,Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当点E运动到与点B重合时停止,设运动x秒后,Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式;
(2)当Rt△CED以(1)中的速度和方向运动,运动时间x=2秒时,Rt△CED运动到如图二所示的位置,若抛物线y=
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x2+bx+c过点A,G,求抛物线的解析式;
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上运动,试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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四边形OABC是等腰梯形,OABC.在建立如图的平面直角坐标系中,A(4,0),B(3,2),点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动;同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动,过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q,连接MQ.
(1)写出C点的坐标;
(2)若动点N运动t秒,求Q点的坐标;(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(4)当t取何值时,△AMQ的面积最大;
(5)当t为何值时,△AMQ为等腰三角形.
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如图,直线y=kx+b,与抛物线y=ax2交于A(1,m),B(-2,4)+y轴交与点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求S△AOB
(3)求
BC
AC
的值;
(4)判断点A是否在以BO为直径的圆上?并说明理由.
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