题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:△AOC∽△COB;
(2)求出抛物线的函数解析式;
(3)当直线l1绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°)时,它与抛物线的另一个交点为P(x,y),求四边形APCB面积S关于x的函数解析式,并求S的最大值;
(4)当直线l1绕点C旋转时,它与抛物线的另一个交点为E,请找出使△ECD为等腰三角形的点E,并求出点E的坐标.
答案
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠OBC=∠OCA
∵∠BOC=∠AOC=90°
∴BOC∽△COA;
(2)由△BOC∽△COA得
CO |
BO |
AO |
CO |
CO |
3 |
1 |
CO |
∴CO=
3 |
∴点C的坐标是(0,-
3 |
由题意,可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx-
3 |
把A(3,0),B(-1,0)的坐标分别代入y=ax2+bx-
3 |
|
解这个方程组,得
|
∴抛物线的函数解析式为y=
| ||
3 |
2
| ||
3 |
3 |
(3)S=S△OBC+S△AOP+S△COP
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
| ||
2 |
| ||
3 |
| ||
2 |
=-
| ||
2 |
3
| ||
2 |
3 |
当x=
3 |
2 |
25
| ||
8 |
(4)可求得直线l1的解析式为y=
| ||
3 |
3 |
3 |
3 |
抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线顶点的坐标为(1,-
4
| ||
3 |
由此可求得点D的坐标为(1,-2
3 |
(i)以点D为圆心,线段DC长为半径画圆弧,交抛物线于点E1,由抛物线对称性可知点E1为点C关于直线x=1的对称点
∴点E1的坐标为(2,-
3 |
(ii)当以点C为圆心,线段CD长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点E1和点B,而三点B、C、D在同一直线上,不能构成三角形;
(iii)作线段DC的中垂线l,交CD于点M,交抛物线于点E2,E3,交y轴于点F
因为OB=1,CO=
3 |
1 |
2 |
可求得CF=
2
| ||
3 |
5
| ||
3 |
因为直线l与l1平行,所以直线l的解析式为y=
| ||
3 |
5
| ||
3 |
所以
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解得x=1,或x=2,
说明E2就是顶点(1,-
4
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3 |
3 |
综上所述,当点E的坐标分别为(2,-
3 |
4
| ||
3 |
核心考点
试题【已知两直线l1,l2分别经过点A(3,0),点B(-1,0),并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求A、B两点坐标;
(2)求抛物线解析式及抛物线顶点D的坐标;
(3)E(0,m)为y轴上一动点(不与点C重合)
①当直线EB与△BCD外接圆相切时,求m的值;
②指出点E的运动过程中,∠DEC与∠DBC的大小关系及相应m的取值范围.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的顶点为P,将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转,旋转的角度为α,旋转后的图形为△BO′C′.
①当O′C′∥CP时,求α的大小;
②△BOC在第一象限内旋转的过程中,当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时,求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标.
1 |
2 |
(1)求抛物线的解析式(关系式).
(2)在第一象限外,是否存在点E,使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似?若存在,请简要说明如何找到符合条件的点E,然后直接写出点E的坐标,并判断是否有满足条件的点E在抛物线上;若不存在,请说明理由.
(3)在直线BC上方的抛物线上,找一点D,使S△BCD:S△ABC=1:4,并求出此时点D的坐标.
信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是5元.
信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元,乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.
信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件,共付了19元.
请根据以上信息,解答下列问题:
(Ⅰ)甲、乙两种商品的进货单价各是多少元?
(Ⅱ)该商品平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件,经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件,为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元,在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?
(1)求抛物线解析式;
(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点,求直线DE的解析式.
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