题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，与x轴另一交点为D，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的函数关系式；
（2）如图，连接AC，在抛物线上是否存在点P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化，并说明理由；
②当EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分时，求点E的坐标．

答案

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
∴

9a+3b+3=0 16a+4b+3=1

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

，
∴抛物线的关系式为y=

1

2

x²-

5

2

x+3；

（2）过点D作DF⊥AC于F，
令y=0，则

1

2

x²-

5

2

x+3=0，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
∴点D坐标为（2，0），AD=1，
令x=0，则y=3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC=OA=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC=

OA2+OC2

=

32+32

=3

2

，
AF=DF=

2

2

×AD=

2

2

，
∴CF=AC-AF=3

2

-

2

2

=

5 2

2

，
∴

DF

CF

=

2 2

5 2 2

=

1

5

，
∵∠ACD+∠ACP=45°，
∴设G（15，0），
则

OC

OG

=

3

15

=

1

5

，
CG与抛物线的交点为点P，
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则

b=3 15k+b=0

，
解得

k=- 1 5 b=3

，
∴y=-

1

5

x+3，
联立

y=- 1 5 x+3 y= 1 2 x2- 5 2 x+3

，
解得

x1= 23 5 y1= 52 25

，

x2=0 y2=3

（为点C坐标，舍去），
∴点P坐标为（

23

5

，

52

25

）；

（3）①∵A（3，0），B（4，1），
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴∠OAF=45°，
∴∠OAF=∠OCE=45°，
∵四边形OEAF是圆内接四边形，
∴∠OEC=∠OFA，
在△OCE和△OAF中，

∠OAF=∠OCE=45° ∠OEC=∠OFA OA=OC=3

，
∴△OCE≌△OAF（AAS），
∴S_△OCE=S_△OAF，
∴四边形OEAF的面积=△OAC的面积=

1

2

×3×3=

9

2

；

②∵EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分，
∴△OEF的面积为：

9

2

×

1

1+2

=

3

2

或

9

2

×

2

1+2

=3，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OE=OF，
∴

1

2

OE•OF=

1

2

OE²=

3

2

或3，
∴OE²=3或OE²=6，
易求直线AC的解析式为y=-x+3，
设出点E的坐标为（a，-a+3），
则OE²=a²+（-a+3）²=2a²-6a+9，
（i）OE²=3时，2a²-6a+9=3，
整理得，a²-3a+3=0，
△=（-3）²-4×1×3=-3＜0，
此时方程无解；
（ii）OE²=6时，2a²-6a+9=6，
整理得，2a²-6a+3=0，
解得a=

6± 12

2×2

=

3± 3

2

，
-a+3=-

3+ 3

2

+3=

3- 3

2

，
或-a+3=-

3- 3

2

+3=

3+ 3

2

，
∴点E（

3+ 3

2

，

3- 3

2

）或（

3- 3

2

，

3+ 3

2

）．