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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,与x轴另一交点为D,与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式;
(2)如图,连接AC,在抛物线上是否存在点P,使∠ACD+∠ACP=45°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化,并说明理由;
②当EF分四边形OEAF的面积为1:2两部分时,求点E的坐标.
答案
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,





9a+3b+3=0
16a+4b+3=1

解得





a=
1
2
b=-
5
2

∴抛物线的关系式为y=
1
2
x2-
5
2
x+3;

(2)过点D作DF⊥AC于F,
令y=0,则
1
2
x2-
5
2
x+3=0,
整理得,x2-5x+6=0,
解得x1=2,x2=3,
∴点D坐标为(2,0),AD=1,
令x=0,则y=3,
∴点C坐标为(0,3),
∴OC=OA=3,
∴△OAC是等腰直角三角形,
∴AC=


OA2+OC2
=


32+32
=3


2

AF=DF=


2
2
×AD=


2
2

∴CF=AC-AF=3


2
-


2
2
=
5


2
2

DF
CF
=


2
2
5


2
2
=
1
5

∵∠ACD+∠ACP=45°,
∴设G(15,0),
OC
OG
=
3
15
=
1
5

CG与抛物线的交点为点P,
设直线CG的解析式为y=kx+b,





b=3
15k+b=0

解得





k=-
1
5
b=3

∴y=-
1
5
x+3,
联立





y=-
1
5
x+3
y=
1
2
x
2
-
5
2
x+3

解得





x1=
23
5
y1=
52
25





x2=0
y2=3
(为点C坐标,舍去),
∴点P坐标为(
23
5
52
25
);

(3)①∵A(3,0),B(4,1),
∴直线AB与x轴的夹角为45°,
∴∠OAF=45°,
∴∠OAF=∠OCE=45°,
∵四边形OEAF是圆内接四边形,
∴∠OEC=∠OFA,
在△OCE和△OAF中,





∠OAF=∠OCE=45°
∠OEC=∠OFA
OA=OC=3

∴△OCE≌△OAF(AAS),
∴S△OCE=S△OAF
∴四边形OEAF的面积=△OAC的面积=
1
2
×3×3=
9
2


②∵EF分四边形OEAF的面积为1:2两部分,
∴△OEF的面积为:
9
2
×
1
1+2
=
3
2
9
2
×
2
1+2
=3,
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴△OEF是等腰直角三角形,
∴OE=OF,
1
2
OE•OF=
1
2
OE2=
3
2
或3,
∴OE2=3或OE2=6,
易求直线AC的解析式为y=-x+3,
设出点E的坐标为(a,-a+3),
则OE2=a2+(-a+3)2=2a2-6a+9,
(i)OE2=3时,2a2-6a+9=3,
整理得,a2-3a+3=0,
△=(-3)2-4×1×3=-3<0,
此时方程无解;
(ii)OE2=6时,2a2-6a+9=6,
整理得,2a2-6a+3=0,
解得a=


12
2×2
=


3
2

-a+3=-
3+


3
2
+3=
3-


3
2

或-a+3=-
3-


3
2
+3=
3+


3
2

∴点E(
3+


3
2
3-


3
2
)或(
3-


3
2
3+


3
2
).
核心考点
试题【已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,与x轴另一交点为D,与y轴交于点C.(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
有一座抛物线型拱桥,其水面宽AB为18米,拱顶O离水面AB的距离OM为8米,货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF,如图建立平面直角坐标系.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如果限定矩形的长CD为9米,那么矩形的高DE不能超过多少米,才能使船通过拱桥;
(3)若设EF=a,请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示,并指出a的取值范围.
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如图,某中学生推铅球,铅球在点A处出手,在点B处落地,它的运行路线满足y=-
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
,则这个学生推铅球的成绩是______米.
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如图,某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD,其中ABDC,∠B=90°,AB=100m,BC=80m,CD=40m,现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN,其中点P在线段AD上,且PM的长至少为36m.
(1)求边AD的长;
(2)设PA=x(m),求S关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)若S=3300m2,求PA的长.(精确到0.1m)
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如图1,点C、B分别为抛物线C1:y1=x2+1,抛物线C2:y2=a2x2+b2x+c2的顶点.分别过点B、C作x轴的平行线,交抛物线C1、C2于点A、D,且AB=BD.
(1)求点A的坐标:
(2)如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变,求CD的长和a2的值;
(3)如图2,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”,其他条件不变,求b1+b2的值______(直接写结果).
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如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
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