题目
题型:不详难度:来源:
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
∴b=0,c=-2;
∵y=ax2+bx+c过点A(-1,0),
∴0=a+0-2,a=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-2.
当y=0时,2x2-2=0,
解得x=±1,
∴点B的坐标为(1,0);
(2)设P(m,n).
∵∠PDB=∠BOC=90°,
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况:
①若△OCB∽△DBP,则
OB |
DP |
OC |
DB |
即
1 |
n |
2 |
m-1 |
解得n=
m-1 |
2 |
由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,
∴此时点P坐标为(m,
m-1 |
2 |
1-m |
2 |
②若△OCB∽△DPB,则
OB |
DB |
OC |
DP |
即
1 |
m-1 |
2 |
n |
解得n=2m-2.
由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,
∴此时点P坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m),
∵P在第一象限,m>1,
∴(m,2m-2)或(m,2-2m)舍
综上所述,满足条件的点P的坐标为:(m,
m-1 |
2 |
(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2-2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.
如图,过点Q作QE⊥l于点E.
∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°,
∴∠DBP=∠QPE.
在△DBP与△EPQ中,
|
∴△DBP≌△EPQ,
∴BD=PE,DP=EQ.
分两种情况:
①当P(m,
m-1 |
2 |
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2-2),
∴
|
解得
|
|
②当P(m,2(m-1))时,
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2-2),
∴
|
解得
|
|
综上所述,不存在满足条件的点Q.
核心考点
试题【如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.(1)求二次】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求线段OA所在直线的函数解析式;
(2)设抛物线顶点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示点P的坐标.
(2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t=______.
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BPD的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点M是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点N,使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的M点坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.
(1)求y与x的关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.
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