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题目
题型:不详难度:来源:
如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y=
2
x
在第一象限的图象相交于D、E两点,已知点D、E分别在正方形ABCO的边AB、BC上.
(1)求点A、D、E的坐标;
(2)求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标.
答案
(1)∵二次函数y=ax2+bx+2的图象与y轴相交于点A,
∴点A的坐标为(0,2).(1分)
∵四边形ABCO是正方形,
∴点D的纵坐标为2,
当y=2时,2=
2
x
,x=1,
∴点D的坐标为D(1,2).(1分)
∵CO=AO=2,
∴点E的横坐标为2,
当x=2时,y=
2
2
=1,
∴点E的坐标为E(2,1).(1分)

(2)∵点D、E在二次函数y=ax2+bx+2的图象上,





a+b+2=2
4a+2b+2=1.
(1分)
解得





a=-
1
2
b=
1
2
.
(1分)
∴这个二次函数的解析式为y=-
1
2
x2+
1
2
x+2.(1分)
y=-
1
2
x2+
1
2
x+2,
=-
1
2
(x2-x)+2,
=-
1
2
(x2-x+
1
4
)+
1
8
+2,
=-
1
2
(x-
1
2
2+
17
8
.(2分)
二次函数图象的顶点坐标为(
1
2
17
8
).
核心考点
试题【如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y=2x在第一象限的图象相交于D、E两点,已知点D、E分别在正方形ABCO的边AB、BC上】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数y=|8-2x-x2|和y=kx+k(k为常数),则不论k为何值,这两个函数的图象(  )
A.有且只有一个交点B.有且只有二个交点
C.有且只有三个交点D.有且只有四个交点
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如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.
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如图①,若二次函数y=


3
6
x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点,点A关于正比例函数y=


3
x的图象的对称点为C.
(1)求b、c的值;
(2)证明:点C在所求的二次函数的图象上;
(3)如图②,过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=


3
x的图象于点D,连结AC,交正比例函数y=


3
x的图象于点E,连结AD、CD.如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动,同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动.当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,连结PQ、QE、PE.设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别交抛物线C1:y=
1
4
x2于点A、B,交抛物线C2:y=
1
9
x2于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA,OB,QC和QD.
【猜想与证明】
填表:
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m123
AB
CD

在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴相交于A,B两点,直线AB的函数表达式y=-
3
4
x-6
,圆M经过原点O,A,B三点.
(1)求出A,B的坐标;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在⊙M上且抛物线经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)如图,设(2)中求得的开口向下的抛物线交x轴于D、E两点,抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=
1
10
S△ABC
?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.