题目

题型：福建省期末题难度：来源：

已知直线与y轴交于点C，与x轴交于点A，
（1）求线段AC的长度；
（2）若抛物线过点C、A，且与x轴交于另一点B，将直线AC沿y轴向下平移m个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点D，与抛物线交于点N（N在抛物线对称轴的左边），与直线BC交于点E．
   ① 是否存在这样的m，使得△CAD是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
  ② 在直线AC平移的过程中，是否存在m值，使得△CDE的面积最大， 若存在，请求出m值，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）当时，y=4， ∴C（0，4）
  当y=0时，，∴A（-4，0）
  在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，
  ∴AC=；
（2）①抛物线经过点A、C，
  则 解得
   ∴抛物线所对应的函数关系式为；
   ∵△CAD是以AC为底的等腰三角形，
  ∴点D在AC的垂直平分线上，此时点D与原点重合，即D（0，0）
   ∴ 则平移后的直线所对应的函数关系式为y=x
   ∵点N是抛物线与直线y=x的交点
  ∴设点N（a，a），
  则，解得
  ∵点N在抛物线对称轴的左侧，
  ∴N
 ② 设△CDE的面积为S
  在中，令y=0，
  解得x= -4或x=2， ∴B（2，0）， AB=6
  当点D在点B的左侧时，即当时（如图①）
  平移后的直线为；
  当y=0时，x=m-4
   ∴ ∴BD=2-(m-4)=6-m；
  过点E作EF⊥AB于点F，由DE∥AC，得∠BDE =∠CAD
   ∴ △BDE∽△BAC
   ∴   ∴   ；  解得；
   ∴
           
  ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线m=3，
   ∵顶点（3，3）的横坐标在范围 内
   ∴当，S有最大值为3；
   当点D在点B的右侧时，即当时（如图②）
   平移后的直线所对应的函数关系式为，
  当y=0时，x=
  ∴D（，0）
  ∴BD= 过点E作EG⊥AB于点G
   由DE∥AC，得∠BDE =∠CAD
  ∴△BDE∽△BAC ∴ ，解得
   ∴
       
  ∴抛物线开口向上，对称轴为m=3
  ∵在抛物线对称轴的右侧，S随着的增大而增大。
   ∴当时， S没有最大值
  综上得，在直线AC平移的过程中，不存在m值，使得△CDE的面积最大。