题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，OC=4。
（1）直接填空：c=_______；
（2）点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4。
①若线段BQ的中点为M，如图1，连结CM，求证：CM⊥BQ；
②如图2，点P是y轴上一个动点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）4；（2）①连结CQ、BC，
由（1）得：c=4，则抛物线的解析式是
∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4，
∴当x=-4时，y=6，
∴点Q坐标为（-4，6）
连结QC、BC，作QT⊥y轴于点T，如图，
令y=0，则，解得：或，则OB=2
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
∴，即△BCQ是等腰三角形，
又点M为线段BQ的中点，
∴CM⊥BQ；
②存在，理由如下：
设P的坐标为（0，n），在△BPQ中，
若，由勾股定理得：，
∴，解得n=10，
此时点的坐标为P₁（0，10），
若，由勾股定理得：，
∴，解得，
此时点P的坐标为，
若，由勾股定理得：，
∴，解得，
此时点P的坐标为或
综上，存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形，点P的坐标为：、、或。