题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

小题1:求抛物线的解析式及点B坐标；
小题2:若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
小题3:试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

答案

小题1:抛物线的解析式是：          
小题2:ME的最大值＝
小题3:不存在.

解析

.解：(1) 当y＝0时，    ∴A(－1, 0)

当x＝0时，      ∴  C(0,－3)        
∴   ∴
抛物线的解析式是：                         
当y＝0时，
解得： x₁＝－1  x₂＝3  ∴ B(3, 0)  
（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：  
设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x²-2x-3）
∴ME="(x-3)-(" x²-2x-3)="-" x²+3x =          
∴当 时，ME的最大值＝                     
（3）答：不存在.                                     
由（2）知 ME 取最大值时ME＝  ，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=. 
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM. ∴P₁或 P₂         
当P₁时，由（1）知                       
∴P₁不在抛物线上.                                     
当P₂时，由（1）知                       
∴P₁不在抛物线上.                                       
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.