题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线＝＋＋－4．
（１）当＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；
（２）求证：无论为什么实数，抛物线都与轴有交点，且经过轴上的一定点；
（３）已知抛物线与轴交于Ａ（₁，0）、Ｂ（₂，0）两点（Ａ在Ｂ的左边），|₁|＜|₂|，与轴交于C点，且Ｓ_△ABC＝１５．问：过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．

答案

（１）（－１，－１）（２）当≥４时，当＜４时（３）有第四个交点，（１，－６）

解析

解：（１）当＝２时，抛物线为＝＋，…………………………１分
配方：＝＋＝＋＋１－１
得＝－１，
∴顶点坐标为（－１，－１）；………………………………………………３分
（也可由顶点公式求得）
（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分
此一元二次方程根的判别式
⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分
∵无论为什么实数，≥０，
方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分
即抛物线总与轴有交点．
由求根公式得＝，………………………………………………７分
当≥４时，＝，
₁＝＝－２，₂＝＝－＋２；
当＜４时，＝，
₁＝＝－＋２，₂＝＝－２．
即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０），
而点（－２，０）是轴上的定点；…………………………………………８分
（３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点．…………………９分
设此点为Ｄ．∵|₁|＜|₂|，C点在y轴上，
由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点．……………………………１０分
由于圆和抛物线都是轴对称图形，
过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．……………………１１分
∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称，
∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个
交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称．……………………………………１２分
由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）：
当－２＜－＋２，即＜４时，…………………………１３分
Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）．
即₁＝－２，₂＝－＋２．
由|₁|＜|₂|得－＋２＞２，解得＜０．
根据Ｓ_△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．
ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，
ＯＣ＝|２－４|＝４－２，
∴（４－）（４－２）＝１５，
化简整理得＝０，
解得＝７（舍去）或＝－１．
此时抛物线解析式为＝，
其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６），
它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）；………………………………１４分
当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边，
知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）．

即₁＝－＋２，₂＝－２．
但此时|₁|＞|₂|，这与已知条件|₁|＜|₂|不相符，
∴不存在此种情况．
故第四个交点的坐标为（１，－６）．
（如图６）
（１）把＝２代入抛物线，通过配方可求得此抛物线的顶点坐标
（2）令y=0，解方程＋＋－4，即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标，定点为与k值无关的点；
（3）过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D，根据A、B、C三点坐标，讨论k的范围，表示△ABC的面积，列方程求k，再根据对称性求D点坐标