题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线L：
（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上；
（2）已知时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；
（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线. 问是否存在点D，使△ABD为等边三角形，如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由.

答案

（1）见解析（2）2（3）存在，理由见解析

解析

（1）抛物线L的顶点坐标C是（，）……2分
将顶点坐标C代入
左边=
右边==  
左边=右边
所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上. ……3分
（2）已知时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B
设，，
依题意   ……5分


由此可知，当k=-2时，AB达到最大值，
而k=-2恰好在内，
所以A、B间距取得最大值时k的值为2  ……8分
(3)存在。       ……9分
因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上，所以若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点..
当k=-2时，抛物线L为 ，顶点D（-2，-3）
解方程，得，
所以（），（）
如图，在△ABD中，DB=DA
D为AB中点， AB=，
∴AD=，
∴∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形    ……12分
因为直线在（）、D（）D，所以依题意
把k=2代入
解得，
所以所求为……14分
（2）方法二：设，，
由根与系数关系，得， ……6分
[来
 
由此可知，当k=-2时，AB达到最大值，
而k=-2恰好在内，
所以A、B间距取得最大值时k的值为2  ……8分
（1）利用顶点坐标求证
（2）设，，求出AB 的长，从而求出k的值
（3）因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上，所以若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，通过AB的长求出AD的长，通过（）、D（），求出直线AD的解析式