题目

题型：不详难度：来源：

如图，直线y=3x+3与 x轴、y轴分别交于点B、A，O为原点，ΔAOB绕点O顺时针方向旋转90^o后得到ΔCOD。
小题1:求A、B、C、D四点的坐标
小题2:求经过A、B、C、三点的抛物线的解析式
小题3:设E为抛物线的顶点，连接DE，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与ΔDOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

答案

小题1:∴A（0，3）    B（-1，0）C（3，0）    D（0，1）
小题2:y=-x²+2x+3
小题3:存在点P，当P为（，2）时，以C、D、P为顶点的三角形与ΔDOC相似。

解析

解：（1）在y=3x+3中，令y=0得x=-1，令x=0得y=3
∴A（0，3）    B（-1，0）
由旋转的性质可知OD=OB=1  OC=OA=3
∴C（3，0）    D（0，1）…………………………  3分
（2）设抛物线的解析式为y=a(x-x₁)( x-x₂) 
∵点B（-1，0）    C（3，0）
∴y=a（x+1）（x-3）
把A（0，3）代入y=a（x+1）（x-3）得a=-1
∴ y=-（x+1）（x-3）
即y=-x²+2x+3 ………………………… 6分
（3）  ∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴E（1，4）…………………………  7分
作EF⊥y轴于点F，则EF=1   OF=4
∴ FD=4-1=3
∵tan∠ADE=    tan∠DCO=
∴∠ADE=∠DCO
∵∠ODC+∠OCD=90^o
∴∠ODC+∠ADE=90 ^o
∴∠CDE=90 ^o…………………………8分
∴∠EDC=∠DOC=90 ^o
①当时，ΔODC∽ΔDPC
∵
∴     ∴…………………9分
过点P作PG⊥y轴于G
∵tan∠EDF=
∴设PG=X   DG=3x
∵DG²+PG²=DP²
∴      ∴ （舍去负值）
∴     ∴OE=1+1=2
∴P（，2）………………………… 10分
当时，ΔODC∽ΔDCP
∴        ∴DP=
∵  所以不合题意舍去……11分
∴存在点P，当P为（，2）时，以C、D、P为顶点的三角形与ΔDOC相似。