题目

题型：不详难度：来源：

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

答案

（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，
 ，，
，(，)                                
将(，)代入抛物线得，.          
（2）解法一：过点作轴于点，

点的横坐标为， (1，)，                               
. 又 ，易知，又，
△∽△，             
设点（，）（），则，
，
，即点的横坐标为.      
解法二：过点作轴于点，
点的横坐标为， (1，)， 
设（-，）（），则
，，，  
 ，
，
解得：，即点的横坐标为.                      
（3）解法一：设（，）（），（，）（），
设直线的解析式为：，    则，
得，
            
又易知△∽△，，，
.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）  （4分）
（说明：写出定点的坐标就给2分）
解法二：设（，）（），（，）（），
直线与轴的交点为，根据，可得
，
化简，得.                                            
又易知△∽△，，，
为固定值.故直线恒过其与轴的交点（,）
说明：的值也可以通过以下方法求得.
由前可知，，，，
由，得：，
化简，得.

解析

（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
（3）设A（-m，-m²）（m＞0），B（n，-n²）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．