题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点。
（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD 的体积。

答案

解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形
且为平行四边形，
是PB与DE的所成角，
中，BF=，PF=，PB=3，
异面直线PB和DE所成角的余弦为；
（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：，
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，
设平面PFB的一个法向量为，
则可得
即
令x=1，得，
所以，
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，
所以得：，
解得，
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为。