题目

题型：不详难度：来源：

已知：抛物线与轴交于A（1，0）和B（，0）点，与轴交于C点
（1）求出抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴与轴交于M点，在对称轴上是否存在P点，使为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时点E 的坐标．

答案

（1）如图①，

∵y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），
∴，
解得，
∴y=x²+2x-3．
（2）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）2-4，
∴N（-1，0），
∴ON=1．
∴当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）
∴OC=3．
∴在Rt△CON中由勾股定理，得CN=
当P₁N=P₁C时，△P₁NC是等腰三角形，作P₁H⊥CN，
∴NH=，△P₁HN∽△NOC，
∴，
∴，
∴NP₁=，
∴P₁（-1，）
当P₄N=CN时，P₄N=
∴P₄（-1，），
当P₂N=CN时，P₂N=，
∴P₂（-1，-），
当P₃C=CN时，P₃N=6，
∴P₃（-1，-6）
∴P点的坐标为：（-1，）、（-1，-）、（-1，-6）和（-1，）；
（3）设E（x，x²+2x-3 ），连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，

∴GO=-x，BG=x+3，GE=-x²-2x+3，
∴S=
S=
∴x=-，S=，
∴E（）．

解析

（1）由抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）点A（1，0）和点B （-3，0），由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的解析式就可以求出C点的坐标，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP₁=NP₁时，作P₁H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P₁N的值，从而求出P1的坐标；
（3）设出点E的坐标，连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四边形BOCE的面积，然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值．