题目

题型：不详难度：来源：

如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．

（1）求正方形的边长．（2分）
（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．（2分）
（3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4分）
（4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使的点有　　　　　个．（2分）
（抛物线的顶点坐标是．）

答案

（1）10（2）每秒1个单位（3），（4）2

解析

（1）作轴于．
，
．
．                                                         （2分）
（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．
又．
两点的运动速度均为每秒1个单位．                             （4分）
（3）方法一：作轴于，则．
，即．
．
．
，
．                              （6分）
即．
，且，
当时，有最大值．
此时，
点的坐标为．                                            （8分）
方法二：当时，．
设所求函数关系式为．
抛物线过点，


．                                             （6分）
，且，
当时，有最大值．
此时，
点的坐标为．                                            （8分）
（4）．
（1）本题须先作BF⊥y轴于F．再求出FB和FA的值即可得出AB的长．
（2）本题须求出点P从点A运动到点B用了多少时间，再根据AB的长即可求出P、Q两点的运动速度．
（3）本题须先作PG⊥y轴于G，证出△AGP∽△AFB得出S= OQ•OG，再把OQ•OG的值代入即可得出最后即可得出S有最大值时P点的坐标．
（4）本题要分两种情况进行讨论：①P在AB上，②P在BC上