题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂,0）两点，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的两个根，且x₁<x₂，连接BC，AC．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ,使△QAC的周长最小，若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点Ｍ在第一象限的抛物线上，当△MBC的面积最大时，求点Ｍ的坐标．

答案

（1）过A、B、C三点的抛物线的解析式（2）存在；Q（5，）（3）点M的坐标为（4,2）

解析

试题分析：（1）解：解方程x²-10x+16=0，由x₁<x_2，得
x₁=2,x₂=8
∴A(2,0)  B(8,0);      
OA=2,OB=8
∵OC切⊙P于点C
∴∠ACO=∠ABC
∴ΔOCA∽OBC
∴OC²=OA·OB=16，OC＞0
∴OC=4 ∴C(0，-4)         
设过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8)
∴16a=-4 ∴a=
∴y=(x-2)(x-8)=        
(2)存在. ∵A,B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线BC与对称轴的交点即为点Q.      
用待定系数法易求直线BC的解析式为     
当时，
∴Q（5，）     
（3）过点M作ME⊥BC与E,交轴于点D,作MN⊥CD于N
∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°
∴∠D＝∠OBC＝∠OCA
∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE          
∵OA＝2，OC＝4  ∴AC=
而,        
∴MN=,DN＝,DM＝
而ON＝   
DC＝
∴DE＝ 
∴ME=DE-DM=－
＝     
∴＝·
＝
＝          
即当时，ΔBCM的面积最大.
在=中，时，
∴点M的坐标为（4,2）          
点评：本题考查直线与圆相切，一元二次方程，抛物线，掌握直线与圆相切的概念和性质，会求一元二次方程的解，会用待定系数法求函数解析式