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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,⊙Py轴相切于点C,与x轴交于Ax1,0),Bx2,0)两点,其中x1x2是方程x2-10x+16=0的两个根,且x1<x2,连接BC,AC.

(1)求过ABC三点的抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QAC的周长最小,若存在求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M在第一象限的抛物线上,当△MBC的面积最大时,求点M的坐标.
答案
(1)过ABC三点的抛物线的解析式(2)存在;Q(5,)(3)点M的坐标为(4,2)
解析

试题分析:(1)解:解方程x2-10x+16=0,由x1<x2
x1=2,x2=8
∴A(2,0)  B(8,0);      
OA=2,OB=8
∵OC切⊙P于点C
∴∠ACO=∠ABC
∴ΔOCA∽OBC
∴OC2=OA·OB=16,OC>0
∴OC=4 ∴C(0,-4)         
设过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8)
∴16a=-4 ∴a=
∴y=(x-2)(x-8)=        
(2)存在. ∵A,B两点关于抛物线的对称轴对称,
∴直线BC与对称轴的交点即为点Q.      
用待定系数法易求直线BC的解析式为     
时,
∴Q(5,)     
(3)过点M作ME⊥BC与E,交轴于点D,作MN⊥CD于N
∴∠D+∠DCE=90°,而∠OBC+∠OCB=90°
∴∠D=∠OBC=∠OCA
∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE          
∵OA=2,OC=4  ∴AC=
,        
∴MN=,DN=,DM=
而ON=   
DC=
∴DE= 
∴ME=DE-DM=
     
·

          
即当时,ΔBCM的面积最大.
=中,时,
点M的坐标为(4,2)          
点评:本题考查直线与圆相切,一元二次方程,抛物线,掌握直线与圆相切的概念和性质,会求一元二次方程的解,会用待定系数法求函数解析式
核心考点
试题【如图,在直角坐标系中,⊙P与y轴相切于点C,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,其中x1,x2是方程x2-10x+16=0的两个根,且x1<x2】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知二次函数的图像与轴交于AB两点,与轴交于点C,连接AC,点P是抛物线上的一个动点,记△APC的面积为S,当S=2时,相应的点P的个数是(   )
A.4 个B.3个C.2个D.1个

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已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),交轴于点CM为抛物线的顶点,连接MB

(1)求该抛物线的解析式;
(2)在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形,若存在,请求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)设Q点的坐标为(8,0),将该抛物线绕点Q旋转180°后,点M的对应点为,求的度数.
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已知抛物线的顶点(-1,-4)且过点(0,-3),直线l是它的对称轴。

(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),交y轴于点C,P为l上的一动点,当△PBC的周长最小时,求P点的坐标。
(3)在直线l上是否存在点M,使△MBC是等腰三角形,若存在,直接写出符合条件的点M的坐标;若不存在请说明理由。
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若二次函数配方后为,则的值分别为(   )
A.0,6B.0,2C.4,6D.4,2

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已知二次函数yax2bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是
A.ac>0            B.当x>1时,yx的增大而增大
C.2ab=1          D.方程ax2bx+c=0有一个根是x=3

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