题目
题型:不详难度:来源:
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求证:以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;
(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(2)证明△PCF≌△OED,得CF=DE;证明△CDM≌△FEN,得C D=EF.这样四边形CDEF两组对边分别对应相等,所以四边形CDEF是平行四边形。
(3)抛物线上存在点P,使四边形CDEF为矩形.这样的点有四个,在四个坐标象限内各一个,其坐标分别为:P1(),P2(),P3(﹣3,3),P4(1,﹣1)
解析
分析:(1)利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)证明△PCF≌△OED,得CF=DE;证明△CDM≌△FEN,得C D=EF.这样四边形CDEF两组对边分别对应相等,所以四边形CDEF是平行四边形。
(3)根据已知条件,利用相似三角形△PCF∽△MDC,可以证明矩形PMON是正方形.这样点P就是抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点,联立解析式解方程组,分别求出点P的坐标.符合题意的点P有四个,在四个坐标象限内各一个。
解:(1)∵二次函数图象的对称轴为直线,∴设二次函数的解析式为:,
∵点A(0,﹣3),B()在抛物线上,
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为:,即。
(2)证明:如图,连接CD、DE、EF、FC,
∵PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,
∴四边形PMON为矩形。
∴PM=ON,PN=OM。
∵PC=MP,OE=ON,∴PC=OE。
∵MD=OM,NF=NP,∴MD=NF。
∴PF=OD。
∵在△PCF与△OED中,,
∴△PCF≌△OED(SAS)。∴CF=DE。
同理可证:△CDM≌△FEN,∴CD=EF。
∵CF=DE,CD=EF,∴四边形CDEF是平行四边形。
(3)假设存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形,
设矩形PMON的边长PM=ON=m,PN=OM=n,
则PC=m,MC=m,MD=n,PF=n.
若四边形CDEF为矩形,则∠DCF=90°,易证△PCF∽△MDC,
∴,即,化简得:m2=n2。
∴m=n,即矩形PMON为正方形。
∴点P为抛物线与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点。
联立,解得。
∴P1(),P2()。
联立,解得。
∴P3(﹣3,3),P4(1,﹣1)。
∴抛物线上存在点P,使四边形CDEF为矩形.这样的点有四个,在四个坐标象限内各一个,其坐标分别为:P1(),P2(),P3(﹣3,3),P4(1,﹣1)。
核心考点
试题【如图,已知二次函数的图象过点A(0,﹣3),B(),对称轴为直线,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形PMON上分别】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系。
当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6。
信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?
(1)求b的值;
(2)求证:点在反比例函数的图象上;
(3)求证:。
(1)求a和b的值;
(2)求t的取值范围;
(3)若∠PCQ=90°,求t的值.
(1)求b、c的值;
(2)证明:点C 在所求的二次函数的图象上;
(3)如图②,过点B作DB⊥x轴交正比例函数的图象于点D,连结AC,交正比例函数的图象于点E,连结AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动,同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动,当其中一个到达终点时,另一个随之停止运动,连结PQ、QE、PE,设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
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