题目
题型:不详难度:来源:
(1)求点B,C的坐标;
(2)判断△CDB的形状并说明理由;
(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0<t<3)得到△QPE.△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
答案
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,解得c=4。
∴抛物线解析式为:y=﹣(x﹣1)2+4。
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。
(2)△CDB为直角三角形。理由如下:
由抛物线解析式,得顶点D的坐标为(1,4)。
如答图1所示,过点D作DM⊥x轴于点M,
则OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2。
过点C作CN⊥DM于点N,
则CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。
在Rt△OBC中,由勾股定理得:;
在Rt△CND中,由勾股定理得:;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:。
∵BC2+CD2=BD2,∴根据勾股定理的逆定理,得△CDB为直角三角形。
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,
∵B(3,0),C(0,3),∴,解得。
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。
∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到,
∴直线QE的解析式为:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。
设直线BD的解析式为y=mx+m,
∵B(3,0),D(1,4),∴,解得:。
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6。
连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G,则G(,3)。
在△COB向右平移的过程中:
①当0<t≤时,如答图2所示:
设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
设QE与BD的交点为F,
则:,解得,∴F(3﹣t,2t)。
∴S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE
=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•yF
=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t•2t=。
②当<t<3时,如答图3所示,
设PQ分别与BC、BD交于点K、点J,
∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t。
直线BD解析式为y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。∴J(t,6﹣2t)。
∴S=S△PBJ﹣S△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=(3﹣t)(6﹣2t)﹣(3﹣t)2=t2﹣3t+。
综上所述,S与t的函数关系式为:S=。
解析
试题分析:(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标。
(2)分别求出△CDB三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形。
(3)△COB沿x轴向右平移过程中,分两个阶段:
①当0<t≤时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形;
②当<t<3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形。
核心考点
试题【如图,抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(﹣1,0).(1)求点B,C的坐】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点?若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
(1)求点A的坐标和∠AOB的度数;
(2)若将抛物线向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线上,请说明理由;
(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
A.图象关于直线x=1对称 |
B.函数ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4 |
C.﹣1和3是方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根 |
D.当x<1时,y随x的增大而增大 |
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求证:AO=AM;
(3)探究:
①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;
②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.
①方程的根是和.
②在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.若AD=4,BD=,则CD=3.
③点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2+2x﹣2y+2=0,若点P也在的图象上,则k=﹣1.
④若实数b、c满足1+b+c>0,1﹣b+c<0,则关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根,且较大的实数根x0满足﹣1<x0<1.
上述4个命题中,真命题的序号是 .
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