题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,设抛物线的对称轴与x轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)如图2,若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(3)存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).
解析
试题分析:本题考查了二次函数的综合运用.其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法,在动点问题时要注意分情况讨论.
(1)已知抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为:,将点C(0,4)代入即可求解.
(2)求满足使△CDP为等腰三角形的动点P的坐标,一般地,当一等腰三角形的两腰不明确时,应分类讨论如下:如图①当PC=PD时:过点C作CE⊥DP交于点E,设CP=DP=a,由勾股定理易求,所以点;如图②当DC=DP时:即以点D为圆心,以CD的长为半径作圆,可以发现在对称轴上有两个符合条件的点,因为CD=,故DP=.所以点P的坐标为,;如图③当CD=CP时:点C在DP的垂直平分线上,过点C作CE⊥DP交于点E,此时易得DE=PE=4,所以点P的坐标为.
(3)先由求得抛物线与坐标轴的交点坐标,进而求得直线AC的解析式为.由于EF∥AC,可由平移设出直线EF的解析式为,此时可求得点E的坐标为.进而列方程组求出点F的坐标,最后利用得出一个关于b的二次函数,利用二次函数性质可求出是否存在满足条件的点E.
试题解析:
(1)解∵抛物线的顶点为
∴可设抛物线的函数关系式为
∵抛物线与y轴交于点C(0,4),
∴ 解得
∴所求抛物线的函数关系式为.
(2)解:满足条件的点P的坐标有:、、、
(3)解:存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).
如图,令
解得x1=-2,x2=4.
∴抛物线与x轴的交点为A(-2,0) ,B (4,0) .
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,4),
∴直线AC的解析式为,
直线BC的解析式为.
∵EF∥AC,
∴可设直线EF的解析式为,(-2<x<4)
令,解得,
∴点E的坐标为.
∴BE=.
解方程组 得,
∴点F的坐标为.
整理得
∴当时,S有最大值3,此时点E的坐标为(1,0).
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,设抛物】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.0 | B.1 | C.2 | D.4 |
(1)求抛物线与双曲线的解析式;
(2)已知点都在双曲线(x>0)上,它们的横坐标分别为,O为坐标原点,记,点Q在双曲线(x<0)上,过Q作QM⊥y轴于M,记。
求的值.
A.第一象限 | B.第二象限 | C.第三象限 | D.第四象限 |
A. | B. |
C. | D. |
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