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题目
题型:不详难度:来源:
如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣12;
(2)①S=﹣(t﹣3)2+9,(0<t<6),
②当t=3时,S取最大值为9,点R坐标为(3,﹣18),理由见解析.
解析

试题分析:(1)把点A代入解析式求出c和a,最后根据抛物线的对称轴求出b,即可求出最后结果.
(2)①本题需根据题意列出S与t的关系式,再整理即可求出结果.
②本题需分三种情况:当点R在BQ的左边,且在PB下方时;当点R在BQ的左边,且在PB上方时;当点R在BQ的右边,且在PB上方时,然后分别代入抛物线的解析式中,即可求出结果.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由题意知点A(0,﹣12),
所以c=﹣12,
又18a+c=0,

∵AB∥OC,且AB=6,
∴抛物线的对称轴是x=
∴b=﹣4,
所以抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣12;
(2)①S=·2t(6﹣t)=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9,(0<t<6),
②当t=3时,S取最大值为9.
这时点P的坐标(3,﹣12),
点Q坐标(6,﹣6),
若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况:
(Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,﹣18),将(3,﹣18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,点R的坐标就是(3,﹣18),
(Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,﹣6),将(3,﹣6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.
(Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,﹣6),将(9,﹣6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.
综上所述,点R坐标为(3,﹣18).
核心考点
试题【如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是(  )
A.B.C.D.

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如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1

将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3

如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=(     ).
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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 (     ).(填正确结论的序号)

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抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是               

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如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连接OA.

(1)求△OAB的面积;
(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.
①求c的值;
②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可).
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