题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，﹣4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．

答案

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则 解
∴直线AB的解析式为y=x﹣4．
（2）作MN⊥y轴于点N．
∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP．
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM．（AAS）
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（m+4，﹣m﹣8）．
（3）答：点Q的坐标不变． 设直线MB的解析式为y=nx﹣4（n≠0）．
∵点M（m+4，﹣m﹣8）． 在直线MB上，
∴﹣m﹣8=n（m+4）﹣4． 整理，
得（m+4）n=﹣m﹣4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．解得 n=﹣1．
∴直线MB的解析式为y=﹣x﹣4．
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（﹣4，0）．