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题目
题型:福建省月考题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴上的一个动点,连接AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是(t,0).
(1)当t=4时,求直线AB的解析式;
(2)当t>0时,用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积;
(3)是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点B的坐标;若不存在,请说明理由.
答案

解:(1)当t=4时,B(4,0),
设直线AB的解析式为y=kx+b.把A(0,6),B(4,0)
代入得:,解得:
∴直线AB的解析式为:y=﹣x+6.
(2)过点C作CE⊥x轴于点E,由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,得△AOB∽△BEC.
===
∴BE=AO=3,CE=OB=
∴点C的坐标为(t+3,).
方法一:S梯形AOEC=OE(AO+EC)=(t+3)(6+)=t2+t+9,
S△AOB=AO·OB=×6t=3t,
S△BEC=BE·CE=×3×=t,
∴S△ABC=S梯形AOEC﹣S△AOB﹣S△BEC=t2+t+9﹣3t﹣t=t2+9.
方法二:∵AB⊥BC,AB=2BC,
∴S△ABC=AB·BC=BC2
在Rt△ABC中,BC2=CE2+BE2=t2+9,
即S△ABC=t2+9.
(3)存在,理由如下:①当t≥0时,I.若AD=BD,
又∵BD∥y轴,
∴∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD,
∴∠OAB=∠BAD,


又∵∠AOB=∠ABC,∴△ABO∽△ACB,
==
=
∴t=3,即B(3,0).
II.若AB=AD.延长AB与CE交于点G,又∵BD∥CG,
∴AG=AC,过点A画AH⊥CG于H.
∴CH=HG=CG,
由△AOB∽△GEB,得=
∴GE=
又∵HE=AO=6,CE=
+6=×(+),
∴t2﹣24t﹣36=0,解得:t=12±6
因为t≥0,所以t=12+6,即B(12+6,0).
III.由已知条件可知,当0≤t<12时,∠ADB为锐角,
故BD≠AB.
当t≥12时,BD≤CE<BC<AB.
∴当t≥0时,不存在BD=AB的情况.
②当﹣3≤t<0时,
如图,∠DAB是钝角.设AD=AB过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F.
可求得点C的坐标为(t+3,),
∴CF=OE=t+3,AF=6﹣
由BD∥y轴,AB=AD得,
∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB,
∴∠BAO=∠FAC,
又∵∠AOB=∠AFC=90°,
∴△AOB∽△AFC,
=
=
∴t2﹣24t﹣36=0,
解得:t=12±6.因为﹣3≤t<0,
所以t=12﹣6,即B(12﹣6,0).
③当t<﹣3时,如图,∠ABD是钝角.设AB=BD,
过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F,可求得点C的坐标为(t+3,),
∴CF=﹣(t+3),AF=6﹣
∵AB=BD,
∴∠D=∠BAD.
又∵BD∥y轴,
∴∠D=∠CAF,
∴∠BAC=∠CAF.
又∵∠ABC=∠AFC=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC,
∴AF=AB,CF=BC,
∴AF=2CF,即6﹣=﹣2(t+3),
解得:t=﹣8,即B(﹣8,0).
综上所述,存在点B使△ABD为等腰三角形,
此时点B坐标为:B1(3,0),B2(12+6,0),B3(12﹣6,0),B4(﹣8,0).


核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴上的一个动点,连接AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC.过点B作x轴】;主要考察你对待定系数法求一次函数解析式等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图函数y1=k1x+b的图象与函数(x>0)的图象交于A、B两点,与y轴交于C点.已知A点的坐标为(2,1),C点坐标为(0,3).
(1)求函数y1的表达式和B点坐标;
(2)观察图象,比较当x>0时,y1和y2的大小.
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(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
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已知关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2=0的两根x1、x2满足x12﹣x22=0.若直线y=kx(x>0)上有一点M,过M作MP⊥x轴于P.若OM=
①求k的值.  
②求点M的坐标.
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如图,△ABC边BC长是10,BC边上的高是6cm,D点在BC上运动,设BD长为x,请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式:(    ),自变量x的取值范围是(    ).
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(1)过A,B两点的直线解析式是_________
(2)当t﹦4时,点P的坐标为_________;当t﹦_________,点P与点E重合;
(3)①作点P关于直线EF的对称点P".在运动过程中,若形成的四边形PEP"F为菱形,则t的值是多少?
②当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ∽△BEP?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:湖北省月考题难度:| 查看答案
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