题目

题型：不详难度：来源：

如图13，在等腰中，，，点从点开始沿边以每秒1 的速度向点运动，点从点开始沿边以每秒2 的速度向点运动，保持垂直平分，且交于点，交于点．点分别从两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动，设它们运动的时间为．
（1）当=      秒时，射线经过点；

（2）当点运动时，设四边形的面积为，求与的函数关系式(不用写出自变量取值范围)；
（3）当点运动时，是否存在以为顶点的三角形与△相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）                                   ……………3分
(当经过点时，∵⊥，∴
，
即 得
∴当时，当经过点)
（2）分别过点、作，⊥垂足为、．
cm，cm， ∴（cm）
∵ ∴
∴  即  ……………6分
又 ∴==
∴=－
即             ……………9分
（3）存在．                           ……………10分
理由如下：     
∵⊥∴⊥时△∽△
此时，△∽△
∴即    ∴                ……………12分

解析

（1）由于DE垂直平分PQ，所以只要CP=CQ，根据等腰三角形的性质，DE又是顶角的平分线，所以列出方程，求出x=2．
（2）由于四边形AQPB的形状不规则，所以可以用△ABC的面积减去△PQC的面积，而△PQC的面积可以用x表达，则四边形AQPB的面积也可以用x表达出来．
（3）假设存在，根据已知条件，易证△PQC∽△AMC，所以 ，
所以 ，即x=
解：（1）                                   ……………3分
(当经过点时，∵⊥，∴
，
即 得
∴当时，当经过点)
（2）分别过点、作，⊥垂足为、．
cm，cm， ∴（cm）
∵ ∴
∴  即  ……………6分
又 ∴==
∴=－
即             ……………9分
（3）存在．                           ……………10分
理由如下：     
∵⊥∴⊥时△∽△
此时，△∽△
∴即    ∴                ……………12分