题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a ， h，且是关于x的一元二次方程mx²+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S_⊙O，矩形PDEF的面积为S_矩形PDEF。
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n ，k的取值是否有关？请说明理由。

答案

解：（1）据题意，∵a+h=，
∴所求正方形与矩形的面积之比：，
∵
∴
由知m，k同号，
∴mk>0
∴
即正方形与矩形的面积之比不小于4； （2）∵∠FED=90°，
∴DF为⊙O的直径，
∴⊙O的面积为：，
矩形PDEF的面积：，
∴面积之比：，
设，
，
∵
∴
∴
即时（EF=DE），的最小值为；（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形，
过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e，
∵BN∥FE，NF∥BE，
∴BN=EF，
∴BN =FP=e，
由BC∥MQ，得：BM=AG=h，
∵AQ∥BC，PF∥BC，
∴AQ∥FP，
∴△FBP∽△ABQ，
∴，
∴，
∴，
∴
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关。