题目

题型：解答题难度：一般来源：淮安

已知关于x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．
某同学的解答如下：
设x₁、x₂是方程的两根，
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-m，x₁x₂=2m-1；
由题意，得x₁²+x₂²=23；
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂；
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3，
所以，m的值为7或-3．
上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答．

答案

答：错误之处在于方程x²-mx+2m-1=0中，a=1，b=-m，x₁+x₂=m．
运用两根关系解得答案时，没有代入方程的判别式检验．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=m，x₁x₂=2m-1．
由题意，得x₁²+x₂²=23．
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂．
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3．
所以，m的值为7或-3．
当m=7时，△=（-m）²-4（2m-1）
=（-7）²-4（2×7-1）
=-1＜0，方程无实根．
当m=-3时，△=（-m）²-4（2m-1）
=（3）²-4[2×（-3）-1]
=37＞0，方程有两个不相等的实数根实根．
∴m=-3．