题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x₁，x₂，就能快速求出

1

x1

+

1

x2

，x12+x22，…的值了．比如设x₁，x₂是方程x²+2x+3=0的两个根，则x₁+x₂=-2，x₁x₂=3，得

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

2

3

．”
（1）小亮的说法对吗？简要说明理由；
（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．

答案

（1）小亮的说法不对．
若有一根为零时，就无法计算

1

x1

+

1

x2

的值了，因为零作除数无意义．

（2）所喜欢的一元二次方程x²-5x-6=0．
设方程的两个根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=-6．
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
将x₁+x₂=5，x₁•x₂=-6代入，得
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=5²-2×（-6）
=37．